1. Lipschitz定义

2. Lipschitz常数

3.深度学习中的Lipschitz约束：泛化与生成模型

L约束与泛化

扰动敏感

记输入为 x，输出为 y，模型为 f，模型参数为 w，记为：

很多时候，我们希望得到一个“稳健”的模型。何为稳健？一般来说有两种含义，一是对于参数扰动的稳定性，比如模型变成了 fw+Δw(x) 后是否还能达到相近的效果？如果在动力学系统中，还要考虑模型最终是否能恢复到 fw(x)；二是对于输入扰动的稳定性，比如输入从 x 变成了 x+Δx 后，fw(x+Δx) 是否能给出相近的预测结果。

读者或许已经听说过深度学习模型存在“对抗攻击样本”，比如图片只改变一个像素就给出完全不一样的分类结果，这就是模型对输入过于敏感的案例。

L约束

所以，大多数时候我们都希望模型对输入扰动是不敏感的，这通常能提高模型的泛化性能。也就是说，我们希望 ||x1−x2|| 很小时：

也尽可能地小。当然，“尽可能”究竟是怎样，谁也说不准。于是 Lipschitz 提出了一个更具体的约束，那就是存在某个常数 C（它只与参数有关，与输入无关），使得下式恒成立

也就是说，希望整个模型被一个线性函数“控制”住。这便是 L 约束了。

**换言之，在这里我们认为满足 L 约束的模型才是一个好模型。**并且对于具体的模型，我们希望估算出 C(w) 的表达式，并且希望 C(w) 越小越好，越小意味着它对输入扰动越不敏感，泛化性越好。

神经网络

在这里我们对具体的神经网络进行分析，以观察神经网络在什么时候会满足 L 约束。

简单而言，我们考虑单层的全连接 f(Wx+b)，这里的 f 是激活函数，而 W,b 则是参数矩阵/向量，这时候 (3) 变为：

让 x1,x2 充分接近，那么就可以将左边用一阶项近似，得到：

显然，要希望左边不超过右边，**∂f/∂x 这一项（每个元素）的绝对值必须不超过某个常数。这就要求我们要使用“导数有上下界”的激活函数，不过我们目前常用的激活函数，比如sigmoid、tanh、relu等，都满足这个条件。**假定激活函数的梯度已经有界，尤其是我们常用的 relu 激活函数来说这个界还是 1，因此 ∂f/∂x 这一项只带来一个常数，我们暂时忽略它，剩下来我们只需要考虑 ||W(x1−x2)||。

多层的神经网络可以逐步递归分析，从而最终还是单层的神经网络问题，而 CNN、RNN 等结构本质上还是特殊的全连接，所以照样可以用全连接的结果。因此，对于神经网络来说，问题变成了：如果下式恒成立，那么 C 的值可以是多少？

找出 C 的表达式后，我们就可以希望 C 尽可能小，从而给参数带来一个正则化项。

矩阵范数

定义

其实到这里，我们已经将问题转化为了一个矩阵范数问题（矩阵范数的作用相当于向量的模长），它定义为：

如果 W 是一个方阵，那么该范数又称为“谱范数”、“谱半径”等，在本文中就算它不是方阵我们也叫它“谱范数（Spectral Norm）”好了。注意 ||Wx|| 和 ||x|| 都是指向量的范数，就是普通的向量模长。而左边的矩阵的范数我们本来没有明确定义的，但通过右边的向量模型的极限定义出来的，所以这类矩阵范数称为“由向量范数诱导出来的矩阵范数”。

好了，文绉绉的概念就不多说了，有了向量范数的概念之后，我们就有：

呃，其实也没做啥，就换了个记号而已，||W||2 等于多少我们还是没有搞出来。

Frobenius范数

其实谱范数 ||W||2 的准确概念和计算方法还是要用到比较多的线性代数的概念，我们暂时不研究它，而是先研究一个更加简单的范数：Frobenius 范数，简称 F 范数。

这名字让人看着慌，其实定义特别简单，它就是：

说白了，它就是直接把矩阵当成一个向量，然后求向量的欧氏模长。

简单通过柯西不等式，我们就能证明：

很明显 ||W||F 提供了 ||W||2 的一个上界，也就是说，你可以理解为 ||W||2 是式 (6) 中最准确的 C（所有满足式 (6) 的 C 中最小的那个），但如果你不大关心精准度，你直接可以取 C=||W||F，也能使得 (6) 成立，毕竟 ||W||F 容易计算。

l2正则项

前面已经说过，为了使神经网络尽可能好地满足L约束，我们应当希望 C=||W||2 尽可能小，我们可以把 C2 作为一个正则项加入到损失函数中。当然，我们还没有算出谱范数 ||W||2，但我们算出了一个更大的上界 ||W||F，那就先用着它吧，即 loss 为：

其中第一部分是指模型原来的 loss。我们再来回顾一下 ||W||F 的表达式，我们发现加入的正则项是：

这不就是 l2 正则化吗？

终于，捣鼓了一番，我们得到了一点回报：我们揭示了 l2 正则化（也称为 weight decay）与 L 约束的联系，表明 l2 正则化能使得模型更好地满足 L 约束，从而降低模型对输入扰动的敏感性，增强模型的泛化性能。

谱范数

主特征根

这部分我们来正式面对谱范数 ||W||2，这是线性代数的内容，比较理论化。

事实上，谱范数 ||W||2 等于的最大特征根（主特征根）的平方根，如果 W是方阵，那么||W||2 等于 W 的最大的特征根绝对值。

对于感兴趣理论证明的读者，这里提供一下证明的大概思路。根据定义 (7) 我们有：

假设****对角化为diag(λ1,…,λn)，即，其中 λi 都是它的特征根，而且非负，而 U 是正交矩阵，由于正交矩阵与单位向量的积还是单位向量，那么：

所以等于****的最大特征根。

幂迭代

也许有读者开始不耐烦了：鬼愿意知道你是不是等于特征根呀，我关心的是怎么算这个鬼范数！

事实上，前面的内容虽然看起来茫然，但却是求 ‖W‖2 的基础。前一节告诉我们就是****的最大特征根，所以问题变成了求****的最大特征根，这可以通过**“幂迭代”法** [3] 来解决。

所谓“幂迭代”，就是通过下面的迭代格式：

迭代若干次后，最后通过：

得到范数（也就是得到最大的特征根的近似值）。也可以等价改写为：

这样，初始化 u,v 后（可以用全 1 向量初始化），就可以迭代若干次得到 u,v，然后代入算得 ‖W‖2 的近似值。

对证明感兴趣的读者，这里照样提供一个简单的证明表明为什么这样的迭代会有效。

记，初始化为，同样假设 A 可对角化，并且假设 A 的各个特征根 λ1,…,λn 中，最大的特征根严格大于其余的特征根（不满足这个条件意味着最大的特征根是重根，讨论起来有点复杂，需要请读者查找专业证明，这里仅仅抛砖引玉。

当然，从数值计算的角度，几乎没有两个人是完全相等的，因此可以认为重根的情况在实验中不会出现。），那么 A 的各个特征向量 η1,…,ηn 构成完备的基底，所以我们可以设：

每次的迭代是 Au/‖Au‖，其中分母只改变模长，我们留到最后再执行，只看 A 的重复作用：

注意对于特征向量有 Aη=λη，从而：

不失一般性设 λ1 为最大的特征值，那么：

根据假设 λ2/λ1,…,λn/λ1 都小于 1，所以 r→∞ 时它们都趋于零，或者说当 r 足够大时它们可以忽略，那么就有：

先不管模长，这个结果表明当 r 足够大时，提供了最大的特征根对应的特征向量的近似方向，其实每一步的归一化只是为了防止溢出而已。这样一来就是对应的单位特征向量，即：

因此：，这就求出了谱范数的平方。

谱正则化

前面我们已经表明了 Frobenius 范数与 l2 正则化的关系，而我们已经说明了 Frobenius 范数是一个更强（更粗糙）的条件，更准确的范数应该是谱范数。虽然谱范数没有 Frobenius 范数那么容易计算，但依然可以通过式 (15) 迭代几步来做近似。

所以，我们可以提出**“谱正则化（Spectral Norm Regularization）”**的概念，即把谱范数的平方作为额外的正则项，取代简单的 l2 正则项。即式 (11) 变为：

Spectral Norm Regularization for Improving the Generalizability of Deep Learning [1]一文已经做了多个实验，表明“谱正则化”在多个任务上都能提升模型性能

生成模型

WGAN

如果说在普通的监督训练模型中，L 约束只是起到了“锦上添花”的作用，那么在 WGAN 的判别器中，L 约束就是必不可少的关键一步了。因为 WGAN 的判别器的优化目标是：

这里的 Pr,Pg 分别是真实分布和生成分布，|f|L=1 指的就是要满足特定的 L 约束 |f(x1)−f(x2)|≤‖x1−x2‖（那个 C=1）。所以上述目标的意思是，在所有满足这个L约束的函数中，挑出使得最大的那个 f，就是最理想的判别器。写成 loss 的形式就是：

梯度惩罚

目前比较有效的一种方案就是梯度惩罚，即 ‖f′(x)‖=1 是 |f|L=1 的一个充分条件，那么我把这一项加入到判别器的 loss 中作为惩罚项，即：

事实上我觉得加个 relu(x)=max(x,0) 会更好：

其中采用随机插值的方式：

梯度惩罚不能保证 ‖f′(x)‖=1，但是直觉上它会在 1 附近浮动，所以 |f|L 理论上也在 1 附近浮动，从而近似达到 L 约束。

这种方案在很多情况下都已经 work 得比较好了，但是在真实样本的类别数比较多的时候却比较差（尤其是条件生成）。

**问题就出在随机插值上：**原则上来说，L 约束要在整个空间满足才行，但是通过线性插值的梯度惩罚只能保证在一小块空间满足。如果这一小块空间刚好差不多就是真实样本和生成样本之间的空间，那勉勉强强也就够用了，但是如果类别数比较多，不同的类别进行插值，往往不知道插到哪里去了，导致该满足 L 条件的地方不满足，因此判别器就失灵了。

思考：梯度惩罚能不能直接用作有监督的模型的正则项呢？有兴趣的读者可以试验一下。

谱归一化

梯度惩罚的问题在于它只是一个惩罚，只能在局部生效。真正妙的方案是构造法：构建特殊的 f，使得不管 f 里边的参数是什么，f 都满足 L 约束。

事实上，WGAN 首次提出时用的是参数裁剪——将所有参数的绝对值裁剪到不超过某个常数，这样一来参数的 Frobenius 范数不会超过某个常数，从而 |f|L 不会超过某个常数，虽然没有准确地实现 |f|L=1，但这只会让 loss 放大常数倍，因此不影响优化结果。参数裁剪就是一种构造法，这不过这种构造法对优化并不友好。

简单来看，这种裁剪的方案优化空间有很大，比如改为将所有参数的 Frobenius 范数裁剪到不超过某个常数，这样模型的灵活性比直接参数裁剪要好。如果觉得裁剪太粗暴，换成参数惩罚也是可以的，即对所有范数超过 Frobenius 范数的参数施加一个大惩罚，我也试验过，基本有效，但是收敛速度比较慢。

然而，上面这些方案都只是某种近似，现在我们已经有了谱范数，那么可以用最精准的方案了：将 f 中所有的参数都替换为 w/‖w‖2。这就是谱归一化（Spectral Normalization），在Spectral Normalization for Generative Adversarial Networks [2] 一文中被提出并实验。

这样一来，如果 f 所用的激活函数的导数绝对值都不超过 1，那么我们就有 |f|L≤1，从而用最精准的方案实现了所需要的 L 约束。

注：“激活函数的导数绝对值都不超过 1”，这个通常都能满足，但是如果判别模型使用了残差结构，则激活函数相当于是 x+relu(Wx+b)，这时候它的导数就不一定不超过 1 了。但不管怎样，它会不超过一个常数，因此不影响优化结果。

我自己尝试过在 WGAN 中使用谱归一化（不加梯度惩罚，参考代码见后面），**发现最终的收敛速度（达到同样效果所需要的 epoch）比 WGAN-GP 还要快，效果还要更好一些。**而且，还有一个影响速度的原因：就是每个 epoch 的运行时间，梯度惩罚会比用谱归一化要长，因为用了梯度惩罚后，在梯度下降的时候相当于要算二次梯度了，要执行整个前向过程两次，所以速度比较慢。